数学オリンピックという、毎年夏に開催されているコンテストで、恒例になっているゲームがあります。

数千人の受験者が、それぞれ好きな自然数（正の整数）を1つだけ書き、それを集計して、1人だけしか書かなかった「孤独な自然数」の中で、最も小さい数字を書いた人が賞品をもらえるというゲームです。

このゲームの最良の戦略を考えるのはなかなかの難題です。許されたいちばん小さな数字は１ですが、「１」と書く人は何人もいるでしょうし、ほかの1桁の数字もおそらく「孤独」にはならないでしょう。実際、これまでの優勝者が書いた数字は、すべて2桁の数字です。

競馬の予想も似ていて、勝つ確率が高いと誰もが思う馬には人気が集まり、そこに賭けてもうま味はありません。ほかの人が見過ごしている馬で、勝つ確率のいちばん高い馬はどれか。競馬ファンの多くが常に考えていることでしょう。

競馬は数学ゲーム以上に複雑ですが、貴方の脳をリフレッシュするために、簡単な例で先ほどの「孤独な自然数」ゲームの戦略を考えてみましょう。

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まずはじめに、ＡさんとＢさんの2人がこのゲームを行うとします。そして勝った人は負けた人から毎回100円を貰うことにします。

ゲーム理論で最善の戦略は、確率的で考えます。たとえば、Ａさんは1、2、3という数字をそれぞれp、q、rの確率で書くとしてみましょう（p＋q＋r=1、つまり4以上の数字は絶対に書かない）。そのときＢさんはどうすればよいのかを考えてみます。

もしＢさんが1を書くと、負けることはありません。というのは、Ａさんが1を書いても（確率p）引き分けとなり、そのほかならばＢさんの勝ちになるからです。ところがＢさんが3を書いてしまうとＢさんに勝ち目はありません。2を書いたときは、Ａさんが1を書いたときは負けて、3を書いたならば勝つのです。Ｂさんの見込める利益（数学的な用語で『期待値』）は、1を書くと（ｑ＋r）×100円、2を書くと（r−ｐ）×100円で、やはり1を書いたほうがよいことがわかります（q＋r ＞ r−q）。

結局このゲームの場合、ＡさんＢさん共にずっと1を書き続けることが最善の戦略になるのです。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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では次に、ゲームの参加者をＡさん、Ｂさん、Ｃさんの3人に増やしてみましょう。

みんな1を書きたいはずですが、誰かとダブれば2を書いた人に勝ちをさらわれます。さらに3以上の数字を書くのは明らかに不利です。

そこでＡさんとＢさんはそれぞれ確率xとyで1を、確率（1−x）と（1−y）で2を書くことにします（表1、表2）。

それをもとに、Ｃさんが1を書いたときと、2を書いたときの見込める儲け（数学的には「期待値」という）を表5にまとめました。表5で、Ｃさんが1を書くときの儲けの式からＣさんが2を書くときの儲けの式を引くと、200（1−（x＋y））になります。つまりx＋y＜1のとき、Ｃさんはずっと1を書くほうが儲けが多くなり、x＋y＞１のときにはずっと2を書くほうが儲けが多いという結論が出ます。x＋y＝1のときは1を書いても2を書いても儲けは変わりがありません。

たとえばＡさんとＢさんがグルになって、Ａさんはずっと1を、Ｂさんはずっと2を書くと、Ｃさんは何を書いても負けることになってしまいます。ズルがなく、3人共1と2を2分の1の確率で書くと、ゲームのいわゆる「ナッシュ均衡」となり、3人共4分の1の確率で勝って、4分の1の確率で勝負がつかないのです。

単純な問題でも、ベストの戦略決定には計算が必要になります。ましてや競馬だと、オッズや勝率などのデータを通して他人の行動を想像し、自分の賭け方を決めなければなりません。それぞれのレースについて、期待値が最大となるたった1種類の馬券はどれか。こんな難問を、毎回探求しておられる競馬ファンの皆さんに、数学者は素直に敬意を表します。